Евклид (Эвклид).
около 325 года до н. э. — до 265 года до н. э.
Древнегреческий математик.
В статье- Биография,основные сочинение Евклида - начала,Евклидова геометрия,Евклидова плоскость,норма вектора(аксиомы нормы),аксиома параллельности Евклида,Псевдо-Евклид.
Известен как: "Отец Геометрии".
Евклид — первый математик Александрийской школы. Его главная работа "Начала" в латинизированной форме — "Элементы") содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвёл итог предшествующему развитию Древнегреческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики. Из других сочинений по математике надо отметить "О делении фигур", сохранившееся в арабском переводе, 4 книги "Конические сечения", материал которых вошёл в произведение того же названия Аполлония Пергского, а также "Поризмы", представление о которых можно получить из "Математического собрания" Паппа Александрийского. Евклид — автор работ по астрономии, оптике, музыке и др.
Биография:
Дополнительные штрихи к портрету Евклида можно почерпнуть у Паппа и Стобея. Папп сообщает, что Евклид был мягок и любезен со всеми, кто мог хотя бы в малейшей степени способствовать развитию математических наук, а Стобей передаёт ещё один анекдот о Евклиде. Приступив к изучению геометрии и разобрав первую теорему, один юноша спросил у Евклида: "А какая мне будет выгода от этой науки?" Евклид подозвал раба и сказал: "Дай ему три обола, раз он хочет извлекать прибыль из учёбы". Историчность рассказа сомнительна, поскольку аналогичный рассказывают о Платоне.
Арабские авторы считали, что Евклид жил в Дамаске и издал там "Начала" Аполлония. Анонимная арабская рукопись XII века сообщает:
Евклид, сын Наукрата, известный под именем "Геометра", учёный старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира…
В целом количество данных о Евклиде настолько скудно, что существует версия (правда, малораспространенная) что речь идет о коллективном псевдониме группы александрийских ученых.
Основное сочинение Евклида называется Начала. Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее Гиппократом Хиосским, Леонтом и Февдием. Однако Начала Евклида вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино.
В I книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгу венчает знаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Книга II, восходящая к пифагорейцам, посвящена так называемой "геометрической алгебре". В III и IV книгах излагается геометрия окружностей, а также вписанных и описанных многоугольников; при работе над этими книгами Евклид мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосского. В V книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским, а в VI книге она прилагается к теории подобных фигур. VII—IX книги посвящены теории чисел и восходят к пифагорейцам; автором VIII книги, возможно, был Архит Тарентский. В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях, вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (известный ныне как алгоритм Евклида), строится чётные совершенные числа, доказывается бесконечность множества простых чисел. В X книге, представляющей собой самую объёмную и сложную часть Начал, строится классификация иррациональностей; возможно, что её автором является Теэтет Афинский. XI книга содержит основы стереометрии. В XII книге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, а также объёмов пирамид и конусов; автором этой книги по общему признанию является Евдокс Книдский. Наконец, XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтетом Афинским.
В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены ещё две. XIV книга принадлежит александрийцу Гипсиклу (ок. 200 г. до н. э.), а XV книга создана во время жизни Исидора Милетского, строителя храма св. Софии в Константинополе (начало VI в. н. э.).
Начала предоставляют общую основу для последующих геометрических трактатов Архимеда, Аполлония и других античных авторов; доказанные в них предложения считаются общеизвестными. Комментарии к Началам в античности составляли Герон, Порфирий, Папп, Прокл, Симпликий. Сохранился комментарий Прокла к I книге, а также комментарий Паппа к X книге (в арабском переводе). От античных авторов комментаторская традиция переходит к арабам, а потом и в Средневековую Европу.
В создании и развитии науки Нового времени Начала также сыграли важную идейную роль. Они оставались образцом математического трактата, строго и систематически излагающего основные положения той или иной математической науки.
Данные — о том, что необходимо, чтобы задать фигуру;
О делении — сохранилось частично и только в арабском переводе; дает деление геометрических фигур на части, равные или состоящие между собой в заданном отношении;
Явления — приложения сферической геометрии к астрономии;
Оптика — о прямолинейном распространении света.
По кратким описаниям известны:
Поризмы — об условиях, определяющих кривые;
Конические сечения ;
Поверхностные места — о свойствах конических сечений;
Псевдария — об ошибках в геометрических доказательствах;
Евклиду приписываются также:
Катоптрика — теория зеркал; сохранилась обработка Теона Александрийского;
Деление канона — трактат по элементарной теории музыки.
Уже со времён пифагорейцев и Платона арифметика, музыка, геометрия и астрономия (так называемые "математические" науки; позже Боэцием названные квадривием) рассматривались в качестве образца систематического мышления и предварительной ступени для изучения философии. Не случайно возникло предание, согласно которому над входом в платоновскую Академию была помещена надпись "Да не войдёт сюда не знающий геометрии".
Геометрические чертежи, на которых при проведении вспомогательных линий неявная истина становится очевидной, служат иллюстрацией для учения о припоминании, развитого Платоном в Меноне и других диалогах. Предложения геометрии потому и называются теоремами, что для постижения их истины требуется воспринимать чертёж не простым чувственным зрением, но "очами разума". Всякий же чертёж к теореме представляет собой идею: мы видим перед собой эту фигуру, а ведём рассуждения и делаем заключения сразу для всех фигур одного с ней вида.
Некоторый "платонизм" Евклида связан также с тем, что в Тимее Платона рассматривается учение о четырёх элементах, которым соответствуют четыре правильных многогранника (тетраэдр — огонь, октаэдр — воздух, икосаэдр — вода, куб — земля), пятый же многогранник, додекаэдр, "достался в удел фигуре вселенной". В связи с этим Начала могут рассматриваться как развёрнутое со всеми необходимыми посылками и связками учение о построении пяти правильных многогранников — так называемых "платоновых тел", завершающееся доказательством того факта, что других правильных тел, кроме этих пяти, не существует.
Для аристотелевского учения о доказательстве, развитого во Второй аналитике, Начала также предоставляют богатый материал. Геометрия в Началах строится как выводная система знаний, в которой все предложения последовательно выводятся одно за другим по цепочке, опирающейся на небольшой набор начальных утверждений, принятых без доказательства. Согласно Аристотелю, такие начальные утверждения должны иметься, так как цепочка вывода должна где-то начинаться, чтобы не быть бесконечной. Далее, Евклид старается доказывать утверждения общего характера, что тоже соответствует любимому примеру Аристотеля: "если всякому равнобедренному треугольнику присуще иметь углы, в сумме равные двум прямым, то это присуще ему не потому что он равнобедренный, а потому что он треугольник".
Псевдо-Евклид:
Евклиду приписываются два важных трактата об античной теории музыки: "Гармоническое введение" ("Гармоника") и "Деление канона" (лат. Sectio canonis). Традиция приписывать "Деление канона" Евклиду идёт ещё от Порфирия. В старинных рукописях "Гармоники" авторство приписывается Евклиду, некоему Клеониду, а также александрийскому математику Паппу. Генрих Мейбом (1555—1625) снабдил "Гармоническое введение" обстоятельными примечаниями, и вместе с "Делением канона" приписал их к трудам Евклида.
При последующем подробном анализе этих трактатов было определено, что первый написан в аристоксеновской традиции (например, в нём все полутоны считаются равными), а второй по стилю — явно пифагорейский (например, отрицается возможность деления тона ровно пополам). Стиль изложения "Гармонического введения" отличается догматизмом и непрерывностью, стиль "Деления канона" несколько схож с "Началами" Евклида, поскольку содержит теоремы и доказательства.
геометрия, систематическое построение которой было впервые дано в 3 в. до н. э. Евклидом. Система аксиом Е. г. опирается на следующие основные понятия: точка, прямая, плоскость, движение и следующие отношения: "точка лежит на прямой на плоскости", "точка лежит между двумя другими". В современном изложении систему аксиом Е. г. разбивают на следующие пять групп.
I. Аксиомы сочетания. 1) Через каждые две точки можно провести прямую и притом только одну. 2) На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. 3) Через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну. 4) На каждой плоскости есть по крайней мере три точки и существуют хотя бы четыре точки, не лежащие в одной плоскости. 5) Если две точки данной прямой лежат на данной плоскости, то и сама прямая лежит на этой плоскости. 6) Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют ещё одну общую точку (и, следовательно, общую прямую).
II. Аксиомы порядка. 1) Если точка В лежит между А и С, то все три лежат на одной прямой. 2) Для каждых точек А, В существует такая точка С, что В лежит между А и С. 3) Из трёх точек прямой только одна лежит между двумя другими. 4) Если прямая пересекает одну сторону треугольника, то она пересекает ещё другую его сторону или проходит через вершину (отрезок AB определяется как множество точек, лежащих между А и В; соответственно определяются стороны треугольника).
III. Аксиомы движения. 1) Движение ставит в соответствие точкам точки, прямым прямые, плоскостям плоскости, сохраняя принадлежность точек прямым и плоскостям. 2) Два последовательных движения дают опять движение, и для всякого движения есть обратное. 3) Если даны точки А, A' и полуплоскости A, A‘, ограниченные продолженными полупрямыми а, а', которые исходят из точек А, A', то существует движение, и притом единственное, переводящее А, а, A в A', a', A' (полупрямая и полуплоскость легко определяются на основе понятий сочетания и порядка).
IV. Аксиомы непрерывности. 1) Аксиома Архимеда: всякий отрезок можно перекрыть любым отрезком, откладывая его на первом достаточное число раз (откладывание отрезка осуществляется движением). 2) Аксиома Кантора: если дана последовательность отрезков, вложенных один в другой, то все они имеют хотя бы одну общую точку.
V. Аксиома параллельности Евклида. Через точку А вне прямой а в плоскости, проходящей через А и а, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую а.
Возникновение Е. г. тесно связано с наглядными представлениями об окружающем нас мире (прямые линии — натянутые нити, лучи света и т. п.). Длительный процесс углубления наших представлений привёл к более абстрактному пониманию геометрии. Открытие Н. И. Лобачевским геометрии, отличной от Е. г., показало, что наши представления о пространстве не являются априорными. Иными словами, Е. г. не может претендовать на роль единственной геометрии, описывающей свойства окружающего нас пространства. Развитие естествознания (главным образом физики и астрономии) показало, что Е. г. описывает структуру окружающего нас пространства лишь с определённой степенью точности и не пригодна для описания свойств пространства, связанных с перемещениями тел со скоростями, близкими к световой. Т. о., Е. г. может рассматриваться как первое приближение для описания структуры реального физического пространства. См. Пространство, Геометрия, Лобачевского геометрия. Неевклидовы геометрии.
В математике термин евкли́дово простра́нство может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов:
В обоих случаях, n-мерное евклидово пространство обычно обозначается \mathbb E^n, хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение \mathbb R^n .
1. Конечномерное вещественное векторное пространство \mathbb R^n с введённым на нём (положительно определенным) скалярным произведением, порождающим норму:
\|x\|=\sqrt{\langle x, x \rangle},
в простейшем случае (евклидова норма):
\|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots +x_n^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2}
где x=(x_1,x_2,\dots, x_n) (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).
Иначе говоря евклидово пространство — конечномерное гильбертово пространство.
2. Метрическое пространство, которое является конечномерным векторным пространством \mathbb R^n над полем вещественных чисел с евклидовой метрикой, введённой по формуле:
d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\dots+(x_n-y_n)^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^n (x_k-y_k)^2},
где x=(x_1,x_2,\dots, x_n) и y=(y_1,y_2,\dots, y_n)\in \mathbb R^n, то есть с функцией расстояния, порождаемой описанной выше нормой.
Норма — структура длины векторов на линейном пространстве.
Норма в векторном линейном пространстве L\ над полем вещественных или комплексных чисел есть функция p\colon L \to \mathbb{R}, удовлетворяющая следующим условиям (аксиомы нормы):
p(x) \geqslant 0, причём p(x) = 0 только при ~x=0;
p(x+y) \leqslant p(x)+p(y) для всех x, y \in L (неравенство треугольника);
~p(\alpha\, x)=|\alpha|p(x) для любого скаляра α.
Норма ~x обычно обозначается \|x\|. Линейное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1-3) — также аксиомами нормированного пространства.
Аксиома 2 обеспечивает выпуклость шаров \|x\| < R, аксиома 3 — кроме прочего, их центральную симметрию.
Любой ненулевой вектор (в частности функцию) конечной нормы можно нормировать, поделив его на значение его нормы (после чего он станет нормированным). Также, нередко применяется выражение "нормированный на", подразумевающее, что норма объекта равна в этом случае не единице, а другой определенной величине. Например, иногда говорят о нормировании на дельта-функцию, когда речь идет о нормировании базиса функций, нумерованного непрерывным параметром.
Пересечения прямых (анимация)
Аксио́ма паралле́льности Евкли́да, или пя́тый постула́т — одна из аксиом, лежащих в основании классической планиметрии. Впервые приведена в "Началах" Евклида:
И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Оригинальный текст (др.-греч.)
— ΣTOIXEIA EΥKΛEI∆OΥ
Евклид различает понятия постулат и аксиома, не объясняя их различия; в разных манускриптах "Начал" Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, равно как не совпадает и их порядок. В классическом издании "Начал" Гейберга сформулированное утверждение является пятым постулатом.
На современном языке текст Евклида можно переформулировать так:
Если (на плоскости) при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов меньше 180°, то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются, и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше 180°.
Уточнение, с какой именно стороны пересекаются прямые, Евклид добавил, вероятно, для ясности — легко доказать, что оно вытекает из самого факта существования пересечения.
Пятый постулат чрезвычайно сильно отличается от других постулатов Евклида, более простых и очевидных. Поэтому в течение двух тысячелетий не прекращались попытки исключить его из списка аксиом и вывести как теорему. Все эти попытки окончились неудачей. "Вероятно, невозможно в науке найти более захватывающую и драматичную историю, чем история пятого постулата Евклида". Несмотря на отрицательный результат, эти поиски не были напрасны, так как в конечном счёте привели к полному пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной.
(N.N.)
Комментарии
Отправить комментарий
Оставьте пожалуйста Ваше мнение.